Asal sayılar, nadir ve eşsiz öneme sahip olmasıyla matematik ve bilimde fazlasıyla kullanılmaktadır. Tarihçesini ve sayıları düşündüğünüz zaman bazı sayıların farklı özelliklere sahip olduğunun kanaatine varabilirsiniz. İşte bu farklı özellikteki sayılardan biri de asallardır. Detaylı olarak gizemi hala çözülemeyen bu sayılar hakkında bilinmeyen özellikler nelerdir?
Bazı sayıların diğerlerinden farklı özellikte olduğunu kolayca görebiliriz. Örneğin 10 sayısını çarpanlarına ayırdığınızda, 1 ve kendisi dışında 5 ve 2 ile de bölündüğünü goreceksiniz. Ancak 13 sayısı sadece 13’e ve 1’e bölünür. Yani sonuç olarak kendisine ve sadece 1’e bölünen pek çok sayı vardır. Bu sayılara “Asal sayı” denir.
Bu Yazıda Neler Var?
Asal Sayılar Nedir?
Asal sayı nedir? Kendisine ve 1 dışında başka sayıya bölünemeyen eşsiz sayılara asal sayı denir. Örneğin; 5 rakamını sadece 1 ve kendine yani 5’e bölebilirsiniz. Bir sayının asal olma şartları vardır. Bunlar;
- Söz konusu olan sayı pozitif doğal sayılar kategorisinde yer almalıdır.
- Ayrıca nadir özellikli bu sayılar 1’den büyük olmalıdır. Yani bu durumda en küçük asal sayı 2’dir.
- Sayının kendisine ve 1 rakamından başka sayıya bölümü olmamalıdır.
Asal Sayılar Hakkında Bilinmeyenler
Bu sayılar gerek tarihçesi gerekse popüler kültürde, bilimde kullanılması sebebiyle gizemi hala çözülemeyen benzersiz sayı grubu içindedir. Peki asal sayılar hakkında bilinmeyen ipuçları nelerdir?
- Bir sayı asal olarak bulunmasıyla bileşik sayı kategorisine girer. Yani parçalara ayırdığınızda bileşik sayıları farklı şekillerde görebilirsiniz.
- Ayrıca en küçük asal sayı rakamı 1 değil 2’dir. Dolayısıyla aynı zamanda çift sayılardan olan tek benzersiz sayıdır. Bunun dışındaki tüm sayılar tek olarak asaldır.
- Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
- Asal sayılar negatif olabilir mi noktasında “Hayır” cevabını alabilirsiniz. Bütün asallar pozitiftir.
- Teknik anlamda 1 asal sayı değildir. Çünkü Eski Yunan ve Arap bilim insanlarına yani matematikçilere göre 1 birim olarak algılanmaktadır. Bu sebeple en küçük asal olarak kabul edilmemiş olabilir.
- Diğer taraftan iki sayı normalde ayrı ayrı asal olmasalar dahi aralarında asal olabilirler. Yani iki farklı sayının ortak olarak böleceği sayı yoksa, buna aralarında asal denir. Örneğin; 3 ile 29 sayısının 1 rakamından başka ortak böleni yoktur.
- Bu sayıların kriptografi, bilim, matematik, veri güvenliği gibi alanlarda ve ortak algoritma şifrelemede kullanıldığını biliyor muydunuz?
- 2023 tarihinden beri Mersenne 51 en büyük asal sayı olarak belirlenmiştir. GİMPS çalışması noktasında 2018 yılında ortaya çıkmıştır.
- Bunun yanı sıra ilk 3550 yıl öncesinde Rhind papirüsünde adı geçmiştir.
- Ayrıca benzersiz sayıların dağılımını gösteren formüller yoktur. Asallar noktasında Riemann Hipotezi Clay Matematik Enstitüsü çalışmalarının çözülemeyen 1 milyon dolarlık ödüllü konusudur.
- Bazı kitaplar, akıl oyunları ve filmlerde kullanılan eşsiz sayılardandır.
- Özel asal sayılar Mersenne asalı ve Format asalı olarak bilinmektedir.
Asal Sayıların Özellikleri Nelerdir?
Bazı sayılar benzersiz ve nadir özelliklere sahiptir. Asallar da aynı şekilde bu kategoriye girmektedir. Dolayısıyla bu özel sayıların en temel özelliklerinden biri, 1 rakamından başka kalansız bölünememesidir. Ayrıca diğer özellikleri şunlardır;
- En küçük asal 1 değil 2’dir. Çünkü asalların mutlaka iki çarpanı olmak zorundadır. Bunun için en küçük olarak iki seçilmiştir.
- 1 rakamından büyük olan her sayı, minimum bir tane asala bölünebilir.
- 2 rakamından büyük olan her hem çift hem de pozitif sayı, iki tane asalın toplamı şeklinde ifade edilebilir.
- Ayrıca en küçük asal olan 2 haricindeki tüm asallar, tek sayılardan oluşur.
- Diğer taraftan bütün tek sayıların hepsi asal değildir. (15 gibi)
- 5 sonrasında gelen hiçbir asal tekrar 5 rakamı ile bitmez.
- Bütün bileşik sayılar asal parçalara ayrılabilir.
- Ardışık olarak belirlenen asallar 2 ve 3’tür.
- 0 ile 1 dışında kalan tüm sayılar ya asaldır ya da birleşik sayılardır.
- Negatif sayıların hiçbiri asal değildir.
Asal Sayılar Tablosu
Sayı büyüdükçe sayının asal olup olmadığına dair zorlanmalar yaşayabilirsiniz. Bu noktada en çok kullanılan ve işinize yarayacak olan asallar, aşağıda yer almaktadır. Peki bunlar hangileridir?
A – 1’den 100’e Kadar Asal Sayılar Kaç Tane?
Asallar matematikte bulunan önemli konu başlıklarından biridir. Özellikle ders çalışma noktasında soru çözümlerinde bazı asalların tablosunu bilmeniz hız ve pratiklik açısından işinizi kolaylaştıracaktır. Peki yüze kadar olan asallar hangileridir?
| 2 | 13 | 31 | 53 | 73 |
| 3 | 17 | 37 | 59 | 79 |
| 5 | 19 | 41 | 61 | 83 |
| 7 | 23 | 43 | 67 | 89 |
| 11 | 29 | 47 | 71 | 97 |
Asal sayılar 100’e kadar 25 tanedir. Dolayısıyla devamında gelecek olan 101 asal sayı mıdır sorusuna 1’den başka böleni olmadığı için “Evet” cevabını verebilirsiniz.
B – 1 – 200 Arası Asal Sayılar
1 ile 200 arasındaki asalları bulmak için aşağıdaki tablodan yararlanabilirsiniz. Birden iki yüze kadar 46 adet asal sayı vardır. Peki asal sayılar 200’e kadar kaç tane ve hangileridir?
| 2 | 29 | 67 | 107 | 157 |
| 3 | 31 | 71 | 109 | 163 |
| 5 | 37 | 73 | 113 | 167 |
| 7 | 41 | 79 | 127 | 173 |
| 11 | 43 | 83 | 131 | 179 |
| 13 | 47 | 89 | 137 | 181 |
| 17 | 53 | 97 | 139 | 191 |
| 19 | 59 | 101 | 149 | 193 |
| 23 | 61 | 103 | 151 | 197 ve 199’dur. |
Asal Sayılar Nasıl Bulunur?
Asalların özelliklerinden hareketle nasıl bir sayı olduğunu bildikten sonra, ufak işlemler sonrasında bir sayının asallığını anlayabilirsiniz. Bunun için iki yöntemden yardım alabilirsiniz;
- Bir tablo hazırlayın ve tablonun içine 100’e kadar olan tüm sayıları yazın.
- Ayrıca arkasından ikinin tüm katlarına işaret atın.
- Daha sonra aynı işlemi 3 için de uygulayın.
- Diğer taraftan sayılar büyümeye başladıkça, katları bulunan tüm sayılara işaret atın. Yani bunu yaparak bir nevi çarpanlarına ayırmış oluyorsunuz.
- Bunun yanında 1 sayısını da işaretleyin. Çünkü bu sayı asal değildir.
- Kalan diğer sayılar bir ve kendisine bölüneceği için asaldır.
Ekstra Yol
- 2 ve 3 dışındaki her asal sayı için 6x + 1 ya da 6x – 1 kuralını uygulayabilirsiniz.
- Asalların katları dışında x burada bulunan doğal sayıyı ifade eder.
- 6.x – 1 formülünde x 1 için, 6.1 – 1 = 5 ya da 6.1 + 1 = 7 şeklinde bulabilirsiniz.
Bu şekilde asal sayılar 1000’e kadar bulabilirsiniz. Mantık bir ve kendisinden başka böleni olmayacak şekilde akılda tutulmalıdır.
Asal Sayıları Kim Bulmuştur?
Asalları öncelikle Yunan matematikçileri incelemiştir. Bu mükemmel sayılardan Rhind papirüsünde ilk olarak 3550 yıl önce bahsedilmiştir. Öklid, “Elementler” eserinde sonsuz sayılı olan asallardan bahsetmiştir. Bunun yanında Eratosthenes asallar için, “Eratosthenes Kalburu” adında algoritma geliştirmiştir. Bu asalların temelini oluşturur.
